17  Reducción de variables categóricas con χ²

En capítulos anteriores se introdujo la correlación como una herramienta para analizar la relación entre variables numéricas, permitiendo cuantificar su dependencia mediante medidas como el coeficiente de Pearson.

\[ r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \sum(y_i-\bar{y})^2}} \]

Sin embargo, muchos problemas reales involucran variables categóricas, para las cuales estas herramientas no son aplicables. En este contexto surge la necesidad de medir la asociación estadística, es decir, evaluar si dos variables categóricas son independientes o están relacionadas.

Ejemplos de estas preguntas incluyen:

• ¿El sexo biológico está relacionado con la preferencia de marca?
• ¿El nivel educativo influye en el partido político votado?
• ¿El tipo de tratamiento médico afecta el resultado clínico?

Para ello se utilizan tablas de contingencia y la prueba χ² de independencia, que permite detectar relaciones, junto con medidas como el V de Cramér para cuantificar su intensidad.

Más allá del análisis, estas herramientas son fundamentales en la reducción de datos categóricos, ya que permiten identificar variables redundantes y simplificar el conjunto de datos sin perder información relevante.

En este capítulo se desarrollan estos conceptos, mostrando cómo χ² no solo detecta asociaciones, sino que también guía decisiones sobre selección y reducción de variables.

17.1 Principios estadísticos

Tip

Idea clave: independencia estadística

Dos variables categóricas \(X\) e \(Y\) son independientes si:

\[ P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i)\, P(Y = y_j) \quad \forall\, i,j \]

Esto significa que conocer el valor de una variable no cambia la probabilidad de la otra. En términos prácticos, la información de \(Y\) no aporta nada adicional sobre \(X\), y viceversa.

Para ilustrar esta idea, imaginemos el lanzamiento de dos dados justos. Sea \(X\) el resultado del primer dado y \(Y\) el resultado del segundo. Entonces:

\[ P(X=2) = \frac{1}{6}, \quad P(Y=3) = \frac{1}{6} \]

Como los lanzamientos son independientes, la probabilidad conjunta se obtiene multiplicando las probabilidades marginales¹:

¹ Las probabilidades marginales corresponden a la distribución de cada variable por separado, ignorando la otra. En una tabla de contingencia, se obtienen a partir de los totales por fila o por columna.

\[ P(X=2, Y=3) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

Si esta factorización no se cumpliera, diríamos que las variables están relacionadas.

Para ilustrar esta idea, imaginemos el lanzamiento de dos dados justos. Sea \(X\) el resultado del primer dado y \(Y\) el resultado del segundo. Entonces:

\[ P(X=2) = \frac{1}{6}, \quad P(Y=3) = \frac{1}{6} \]

Como los lanzamientos son independientes, la probabilidad conjunta se obtiene multiplicando las probabilidades marginales²:

² Las probabilidades marginales corresponden a la distribución de cada variable por separado, ignorando la otra. En una tabla de contingencia, se obtienen a partir de los totales por fila o por columna.

\[ P(X=2, Y=3) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

Si esta factorización no se cumpliera, diríamos que las variables están relacionadas.

Para visualizar la independencia de forma dinámica, simulamos múltiples lanzamientos de dos dados y observamos cómo evoluciona la probabilidad conjunta de obtener \(X=2\) e \(Y=3\) a medida que aumentamos el número de lanzamientos. En un escenario justo, esta probabilidad debería converger a \(1/36 \approx 0.0278\).

import numpy as np
import pandas as pd
import plotly.express as px

np.random.seed(42)
n = 5000

# Dados justos (independientes)
X_justo = np.random.choice([1,2,3,4,5,6], size=n)
Y_justo = np.random.choice([1,2,3,4,5,6], size=n)

# Dados sesgados
probs = [0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.5]
X_sesgado = np.random.choice([1,2,3,4,5,6], size=n, p=probs)
Y_sesgado = np.random.choice([1,2,3,4,5,6], size=n, p=probs)

# Evento: X=2, Y=3
evento_justo = (X_justo == 2) & (Y_justo == 3)
evento_sesgado = (X_sesgado == 2) & (Y_sesgado == 3)

# Frecuencia acumulada (convergencia)
prob_justo = np.cumsum(evento_justo) / np.arange(1, n+1)
prob_sesgado = np.cumsum(evento_sesgado) / np.arange(1, n+1)

df_plot = pd.DataFrame({
    "Tiros": np.arange(1, n+1),
    "Justo": prob_justo,
    "Sesgado": prob_sesgado
}).melt(id_vars="Tiros", var_name="Tipo", value_name="Probabilidad")

fig = px.line(
    df_plot,
    x="Tiros",
    y="Probabilidad",
    color="Tipo",
    title="Convergencia de la probabilidad conjunta P(X=2, Y=3)"
)

# Línea teórica 1/36
fig.add_hline(
    y=1/36,
    line_dash="dash",
    annotation_text="1/36 (valor teórico)",
    annotation_position="bottom right"
)


fig.update_layout(
    template="plotly_white",
    legend=dict(
        orientation="h",
        yanchor="top",
        y=-0.2,
        xanchor="center",
        x=0.5
    )
)
fig.show()

En la práctica no observamos probabilidades, sino conteos organizados en tablas de contingencia³.
Sea \(o_{ij}\) el número de observaciones donde \(X = x_i\) y \(Y = y_j\). Bajo el supuesto de independencia, la frecuencia esperada se define como:

³ Una tabla de contingencia es una matriz que resume la frecuencia de ocurrencia de combinaciones entre dos variables categóricas, mostrando cómo se distribuyen conjuntamente sus categorías.

\[ e_{ij} = \frac{(\text{total fila}_i)(\text{total columna}_j)}{n} \]

Esta expresión se obtiene al estimar las probabilidades marginales como proporciones:

\[ P(X=i) \approx \frac{n_i}{n}, \quad P(Y=j) \approx \frac{n_j}{n} \]

y asumir independencia:

\[ P(X=i, Y=j) \approx \frac{n_i}{n} \cdot \frac{n_j}{n} \]

Multiplicando por el tamaño total de la muestra \(n\), se obtiene la frecuencia esperada \(e_{ij}\).

Así, \(e_{ij}\) representa lo que esperaríamos observar si no hubiera relación, mientras que \(o_{ij}\) refleja lo que realmente ocurre en los datos. La diferencia entre ambos constituye la base para detectar asociación.

Bajo este enfoque, la independencia funciona como un modelo de referencia: si los datos se alejan significativamente de él, surge la evidencia de una relación entre las variables. Esta lógica conduce directamente al estadístico \(\chi^2\), configurado como una prueba de hipótesis. En ella, partimos de la hipótesis nula (\(H_0\)) de independencia y evaluamos si la discrepancia entre las frecuencias observadas (\(o_{ij}\)) y las esperadas (\(e_{ij}\)) es lo suficientemente grande como para rechazar dicha premisa.

En última instancia, la prueba \(\chi^2\) actúa como una balanza: cuantifica la desviación acumulada y permite determinar si las diferencias observadas son meras fluctuaciones del azar o si, por el contrario, representan una relación estructural y estadísticamente significativa entre las variables.

17.1.1 De independencia a frecuencias esperadas

Consideremos una encuesta realizada a \(n = 100\) personas en la que se registran dos variables categóricas: el género y la bebida preferida.

• \(X\): Género → {Hombre, Mujer}
  
• \(Y\): Bebida → {Café, Té}

El objetivo es entender cómo el supuesto de independencia entre estas variables se refleja en una tabla de datos.

Al realizar un análisis exploratorio inicial, lo primero que observamos son los marginales, es decir, los totales de cada variable por separado:

• Total de hombres: 50 | Total de mujeres: 50
  
• Total que prefieren café: 60 | Total que prefieren té: 40

fig = go.Figure()

fig.add_trace(go.Bar(
    name="P(Género)",
    x=["Hombre", "Mujer"],
    y=[0.5, 0.5],
    marker_color=["#457b9d", "#e63946"],
    text=["50%", "50%"], textposition="outside",
    width=0.4
))

fig.add_trace(go.Bar(
    name="P(Bebida)",
    x=["Café", "Té"],
    y=[0.6, 0.4],
    marker_color=["#2a9d8f", "#e9c46a"],
    text=["60%", "40%"], textposition="outside",
    width=0.4
))

fig.update_layout(
    title="Probabilidades marginales — lo único que sabemos antes de asumir independencia",
    yaxis_title="Probabilidad",
    yaxis_range=[0, 0.85],
    # template="plotly_white",
    # barmode="group",
    # height=400
)
fig.show()

Podemos estimar probabilidades directamente de frecuencias relativas:

\[ P(X=\text{Hombre}) = \frac{50}{100} = 0.5, \quad P(Y=\text{Café}) = \frac{60}{100} = 0.6 \]

Si fueran independientes, la probabilidad conjunta se factorizaría tomando el valor:

\[ P(\text{Hombre} | \text{Café}) = P(\text{Hombre}) \times P(\text{Café}) = 0.5 \times 0.6 = 0.30 \]

Para obtener la frecuencia esperada multiplicamos la probabilidad conjunta por \(n\):

\[ e_{11} = P(\text{Hombre}) \cdot P(\text{Café}) \cdot n = 0.5 \times 0.6 \times 100 = 30 \]

Es decir, si no hubiera relación entre género y bebida, esperaríamos que 30 hombres prefieran café.

De manera general, para cualquier celda \((i,j)\) de la tabla la frecuencia esperada es:

\[ e_{ij} = \frac{(\text{total fila}_i)(\text{total columna}_j)}{n} \]

Calculando la tabla esperada completa:

import plotly.graph_objects as go
from plotly.subplots import make_subplots
import numpy as np

labels_x = ["Café", "Té"]
labels_y = ["Hombre", "Mujer"]
esp = np.array([[30, 20], [30, 20]])

fig = go.Figure(go.Heatmap(
    z=esp, x=labels_x, y=labels_y,
    colorscale="Blues", showscale=False,
    text=esp, texttemplate="%{text}",
    zmin=0, zmax=40
))

# Anotación de totales
for i, (row, rtot) in enumerate(zip(esp, [50, 50])):
    fig.add_annotation(x=2.35, y=labels_y[i], text=f"<b>{rtot}</b>",
                       showarrow=False, font=dict(size=13, color="#457b9d"),
                       xref="x", yref="y")
for j, (col, ctot) in enumerate(zip(labels_x, [60, 40])):
    fig.add_annotation(x=labels_x[j], y=-0.65, text=f"<b>{ctot}</b>",
                       showarrow=False, font=dict(size=13, color="#457b9d"),
                       xref="x", yref="y")

fig.update_layout(
    title="Tabla esperada bajo independencia — cada celda = (fila × col) / n",
    # template="plotly_white", height=600,
    # xaxis=dict(range=[-0.5, 2.6]),
    # yaxis=dict(range=[-1, 1.5]),
    # margin=dict(l=20, r=20, t=50, b=40)
)
fig.show()

Así, la tabla de frecuencias esperadas puede interpretarse como un modelo de referencia que describe cómo se verían los datos si no existiera relación entre las variables. Si los datos observados \(o_{ij}\) se parecen a este modelo, no hay evidencia de asociación; si se alejan, surge la necesidad de explicarlo.

Matemáticamente, para cuantificar esta discrepancia entre lo observado \((o_{ij})\) y lo esperado \((e_{ij})\) se emplea el estadístico χ², definido como:

\[ \chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(o_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}} \]

Apliquemoslo a nuestro ejemplo. Recordemos que bajo independencia se espera \(e_{11} = 30\) para la celda \((i=1,j=1)\), pero supongamos que se observa \(o_{11} = 40\). La contribución de esta celda al estadístico es:

\[ \frac{(40 - 30)^2}{30} = \frac{100}{30} \approx 3.33 \]

De manera análoga, si en otra celda se tiene \(e_{12} = 20\) y \(o_{12} = 10\), su contribución es:

\[ \frac{(10 - 20)^2}{20} = \frac{100}{20} = 5 \]

El estadístico χ² se obtiene sumando estas contribuciones sobre todas las celdas. En este sentido, χ² puede interpretarse como una medida global de la distancia entre lo observado y lo esperado: cuanto mayores sean las diferencias \(o_{ij} - e_{ij}\), mayor será el valor de χ².

Valores pequeños indican que las discrepancias pueden atribuirse al azar, mientras que valores grandes sugieren una desviación significativa respecto al modelo de independencia.

Veamos ahora cómo evoluciona χ² a medida que variamos una de las celdas, manteniendo los marginales fijos.

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
from scipy.stats import chi2_contingency

k_vals = np.arange(30, 56, 1)
chi2_vals = []

for k in k_vals:
    tabla = np.array([[k, 50 - k], [60 - k, 50 - (60 - k)]])
    if tabla.min() >= 0:
        chi2_v, *_ = chi2_contingency(tabla)
        chi2_vals.append(chi2_v)
    else:
        chi2_vals.append(np.nan)

fig = go.Figure()

fig.add_trace(go.Scatter(
    x=k_vals, y=chi2_vals,
    mode="lines+markers",
    line=dict(color="#457b9d", width=2.5),
    marker=dict(size=5),
    name="χ²"
))

fig.add_vline(x=30, line_dash="dash", line_color="#2a9d8f",
              annotation_text="k=30: independencia exacta (χ²=0)",
              annotation_position="top right",
              annotation_font_color="#2a9d8f")

fig.add_hline(y=3.841, line_dash="dot", line_color="#e63946",
              annotation_text="Valor crítico α=0.05 (gl=1)",
              annotation_position="bottom right",
              annotation_font_color="#e63946")

fig.update_layout(
    title="χ² crece mientras más se alejan los datos de la independencia",
    xaxis_title="Hombres que toman café (k) — marginales fijos en 50/50 y 60/40",
    yaxis_title="Estadístico χ²",
)
fig.show()

Para un numero de hombres que toman cafe \(k=30\), las frecuencias observadas coinciden con las esperadas y se tiene \(\chi^2 = 0\). A medida que \(k\) se aleja de este valor, las diferencias entre \(o_{ij}\) y \(e_{ij}\) aumentan, y χ² crece en consecuencia.

Este comportamiento refleja que χ² cuantifica qué tan lejos están los datos del modelo de independencia: valores pequeños indican cercanía, mientras que valores grandes sugieren una desviación significativa. La línea horizontal marca el valor crítico, a partir del cual la discrepancia ya no puede atribuirse al azar.

17.2 Definición: la prueba χ²

La prueba χ² mide qué tan lejos están las frecuencias observadas de lo que esperaríamos si no hubiera relación entre las variables.

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \]

donde \(O_{ij}\) es la frecuencia observada y \(E_{ij}\) la frecuencia esperada bajo independencia. La suma se realiza sobre todas las celdas de la tabla de contingencia.

La división entre \(E_{ij}\) permite normalizar la discrepancia, de modo que se mide el error relativo y no el absoluto. Por ejemplo, una diferencia de 10 es relevante si se esperaban 12, pero poco significativa si se esperaban 1000.

Cada término puede interpretarse como la contribución de una celda al estadístico, y es aproximadamente equivalente a un valor normal estandarizado al cuadrado:

\[ \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \approx Z_{ij}^2 \]

Bajo la hipótesis nula \(H_0\) de independencia, estas desviaciones se deben únicamente al azar, y el estadístico χ² puede interpretarse como la suma de cantidades aproximadamente normales al cuadrado, lo que explica que siga una distribución χ².

Finalmente, la forma de esta distribución depende de los grados de libertad, dados por:

\[ (r-1)(c-1) \]

los cuales reflejan cuántas celdas pueden variar libremente una vez que los totales por fila y columna están fijados.

Para entender los grados de libertad en una tabla \(2\times2\), consideremos una tabla con marginales fijos. Fijamos libremente una sola celda (p. ej. \(X,A = 30\)); el resto queda determinado por los totales:

	A	B	Total
X	30 ← libre	20 ← fila X	50
Y	30 ← col A	20 ← ambos	50
Total	60	40	100

A partir de una sola elección, toda la tabla queda fijada: en una tabla \(2\times2\) existe un solo grado de libertad.

En general, los grados de libertad \((r-1)(c-1)\) representan cuántos valores pueden elegirse libremente antes de que los marginales determinen el resto.

17.2.1 La distribución χ²

Recordemos que cada celda de la tabla aporta un término \(\approx Z_{ij}^2\) al estadístico. Sumar cuadrados de normales es precisamente cómo nace la distribución χ²: si lanzas una moneda justa muchas veces y mides qué tan lejos cayeron los resultados de lo esperado, esa acumulación de discrepancias al cuadrado sigue una distribución χ².

Esto explica directamente sus propiedades:

• Solo toma valores positivos — acumula cuadrados, así que nunca puede ser negativa. Un χ² = 0 significaría que observado y esperado coinciden perfectamente en cada celda.
• Se desplaza a la derecha con más g.l. — cada grado de libertad adicional suma un cuadrado más, por lo que el total tiende a crecer. De hecho, la media es exactamente igual a los g.l.
• Es asimétrica con pocos g.l. — cuando solo sumas uno o dos cuadrados, los valores pequeños dominan y la cola derecha es larga. Conforme sumas más términos, por el teorema central del límite, la distribución se va pareciendo a una normal.
• Es aditiva — si tienes dos tablas independientes con sus propios χ², puedes sumar los estadísticos y los g.l. directamente. Esto es útil, por ejemplo, para combinar resultados de varios estudios.

Con esto claro, la forma de la distribución varía según los grados de libertad:

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
from scipy.stats import chi2

x = np.linspace(0, 30, 500)

fig = go.Figure()
for df_, color in zip([1, 2, 4, 6, 9],
                      ["#e63946","#457b9d","#2a9d8f","#e9c46a","#f4a261"]):
    fig.add_trace(go.Scatter(
        x=x, y=chi2.pdf(x, df_),
        mode="lines", name=f"gl = {df_}",
        line=dict(color=color, width=2.5)
    ))

fig.update_layout(
    title="Distribución χ² para distintos grados de libertad",
    xaxis_title="χ²", yaxis_title="Densidad",
    legend_title="g.l.",
    height=400
)
fig.show()

Observa en la gráfica cómo se manifiestan estas propiedades: con gl = 1 la masa está concentrada cerca de cero y cae abruptamente; conforme aumentan los g.l. la distribución se desplaza a la derecha, la cola se alarga y la curva se va achatando. Esto tiene una consecuencia práctica directa: un mismo valor de χ² observado corresponde a p-values muy distintos dependiendo de los g.l., por lo que nunca debe interpretarse el estadístico sin conocer los grados de libertad de la prueba.

Más g.l. = más formas en las que los datos pueden variar

17.2.2 Decisión estadística: p-value

Una vez que calculamos el estadístico χ², necesitamos saber qué tan inusual es ese valor. Para eso usamos la distribución χ² como referencia: nos dice cómo se distribuirían los estadísticos si repitiéramos el muestreo muchas veces bajo un mundo donde \(H_0\) fuera cierta, es decir, donde no hubiera ninguna relación entre las variables.

Intuitivamente, la curva representa todos los valores de χ² que cabría esperar por puro azar. Los valores pequeños son frecuentes (poca discrepancia, nada raro), mientras que los valores grandes son raros (mucha discrepancia, difícil de explicar solo por azar). El p-value es simplemente el área a la derecha de nuestro valor observado:

\[ p = P(\chi^2 \ge \chi^2_{\text{obs}} \mid H_0) \]

Esa área responde a la pregunta: ¿qué fracción de los resultados posibles bajo \(H_0\) serían tan extremos o más que el nuestro? Un área grande significa que nuestro resultado es común bajo \(H_0\) — no hay razón para dudar de ella. Un área pequeña significa que nuestro resultado sería muy raro si \(H_0\) fuera cierta — evidencia en su contra.

from scipy.stats import chi2
import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

gl = 4
chi2_obs = 11.5
x = np.linspace(0, 25, 500)

fig = go.Figure()

# Distribución completa
fig.add_trace(go.Scatter(
    x=x, y=chi2.pdf(x, gl),
    fill="tozeroy", fillcolor="rgba(69,123,157,0.2)",
    line=dict(color="#457b9d", width=2),
    name="Distribución χ²(4)"
))

# Área de rechazo
x_tail = x[x >= chi2_obs]
fig.add_trace(go.Scatter(
    x=np.concatenate([[chi2_obs], x_tail, [x_tail[-1]]]),
    y=np.concatenate([[0], chi2.pdf(x_tail, gl), [0]]),
    fill="toself", fillcolor="rgba(230,57,70,0.5)",
    line=dict(color="#e63946", width=2),
    name=f"p-value = {chi2.sf(chi2_obs, gl):.4f}"
))

fig.add_vline(x=chi2_obs, line_dash="dash", line_color="#e63946",
              annotation_text=f"χ²={chi2_obs}",
              annotation_position="top right")

fig.update_layout(
    title="Región de rechazo (α = 0.05, gl = 4)",
    xaxis_title="χ²", yaxis_title="Densidad",
)
fig.show()

El área roja es el p-value: la porción de la distribución que queda a la derecha de nuestro χ² observado. Cuanto más a la derecha cae el valor, más pequeña es esa área y más difícil de explicar el resultado por azar.

La decisión se toma comparando esa área con un umbral predefinido (comúnmente \(\alpha = 0.05\)):

• Si \(p\)-value \(< 0.05\) → el área es tan pequeña que rechazamos \(H_0\)
• Si \(p\)-value \(\ge 0.05\) → el área es suficientemente grande; no hay evidencia para rechazar \(H_0\)

Aquí:

• \(p \approx 0.0215 \; < \; 0.05\)

La desviación observada es poco probable bajo independencia

Sin embargo, saber que existe una relación no dice nada sobre su magnitud. Antes de interpretar cualquier resultado, conviene recordar que la prueba tiene supuestos que deben cumplirse:

Important

La prueba NO es válida si se violan estos supuestos.

1. Independencia de las observaciones — cada persona o unidad debe aparecer una sola vez en la tabla. Si el mismo individuo aporta múltiples filas, las celdas ya no son comparables entre sí.

2. Tamaño de muestra suficiente: \(n \geq 20\) — la distribución χ² es una aproximación que solo funciona bien con muestras grandes. Con \(n\) pequeño, el estadístico puede no seguir esa distribución y el p-value sería poco confiable.

3. Frecuencias esperadas \(\geq 5\) en al menos el 80% de las celdas — si una celda tiene muy pocos casos esperados, su término \(\frac{(O-E)^2}{E}\) se vuelve inestable: una pequeña diferencia absoluta produce un valor enorme solo por dividir entre un número muy pequeño.

4. Ninguna celda con \(E_{ij} = 0\) — una frecuencia esperada de cero hace la división imposible. Ocurre cuando alguna combinación de categorías es estructuralmente imposible en los datos.

17.2.3 Fuerza de asociación: V de Cramér

Un χ² significativo solo dice que algo existe — no dice qué tan grande es. Con muestras muy grandes, hasta una relación trivial produce un χ² enorme y un p-value pequeñísimo. La V de Cramér corrige esto: divide el estadístico entre el tamaño de muestra y lo escala según el tamaño de la tabla, para que el resultado siempre quede entre 0 y 1 independientemente de \(n\).

\[ V = \sqrt{\frac{\chi^2 / n}{\min(r-1,\, c-1)}} \in [0, 1] \]

Intuitivamente, V = 0 significa que conocer la fila no te dice nada sobre la columna; V = 1 significa que una variable determina completamente a la otra. En la práctica:

V	Interpretación
0.00 – 0.10	Asociación negligible
0.10 – 0.20	Asociación débil
0.20 – 0.40	Asociación moderada
> 0.40	Asociación fuerte

La siguiente gráfica simula tablas de contingencia \(2\times2\) con distintos niveles de V para que puedas ver cómo luce la asociación en los datos reales:

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
from plotly.subplots import make_subplots

# Tablas representativas para cada nivel de V
# Cada tabla está construida para producir aproximadamente el V indicado
tables = {
    "Negligible  (V ≈ 0.05)": np.array([[26, 24], [24, 26]]),
    "Débil       (V ≈ 0.15)": np.array([[35, 15], [25, 25]]),
    "Moderada    (V ≈ 0.30)": np.array([[40, 10], [20, 30]]),
    "Fuerte      (V ≈ 0.55)": np.array([[45,  5], [10, 40]]),
}

colors = {
    "Negligible  (V ≈ 0.05)": ["#d9f0f7", "#a8d8ea"],
    "Débil       (V ≈ 0.15)": ["#c8e6c9", "#66bb6a"],
    "Moderada    (V ≈ 0.30)": ["#fff3cd", "#ffc107"],
    "Fuerte      (V ≈ 0.55)": ["#ffd6d6", "#e63946"],
}

fig = make_subplots(
    rows=1, cols=4,
    subplot_titles=list(tables.keys()),
    horizontal_spacing=0.08
)

for col_idx, (label, table) in enumerate(tables.items(), start=1):
    n = table.sum()
    total = table / n * 100  # porcentajes

    cats_col = ["A", "B"]
    cats_row = ["X", "Y"]

    for r_idx, row_label in enumerate(cats_row):
        fig.add_trace(go.Bar(
            name=row_label,
            x=cats_col,
            y=total[r_idx],
            marker_color=colors[label][r_idx],
            text=[f"{v:.0f}%" for v in total[r_idx]],
            textposition="inside",
            showlegend=(col_idx == 1),
        ), row=1, col=col_idx)

fig.update_layout(
    barmode="stack",
    legend_title="Categoría",
)

fig.update_yaxes(range=[0, 100], ticksuffix="%")
fig.show()

Observa cómo cambia la forma de las barras: cuando la asociación es negligible, las proporciones de X e Y son casi idénticas en A y B — conocer la columna no te dice nada sobre la fila. Conforme V crece, las barras se vuelven más disparejas: en la asociación fuerte, A está dominada por X y B por Y, lo que indica que las dos variables se mueven juntas de manera sistemática.

Un χ² significativo sin una V de Cramér grande puede ser estadísticamente real pero prácticamente irrelevante.

17.3 Ejemplo: Tabaquismo × Ejercicio

Para ilustrar todo lo anterior, analizamos la relación entre el hábito de fumar y la frecuencia de ejercicio en una muestra de 300 personas. La pregunta es simple: ¿las personas que fuman más tienden a ejercitarse menos?

import pandas as pd

np.random.seed(42)
n = 300

fumar_base = np.random.choice([0, 1, 2, 3], size=n, p=[0.35, 0.30, 0.20, 0.15])
ejercicio = []
for f in fumar_base:
    if f == 0:
        ejercicio.append(np.random.choice(["Nunca", "Ocasional", "Frecuente"], p=[0.15, 0.35, 0.50]))
    elif f == 1:
        ejercicio.append(np.random.choice(["Nunca", "Ocasional", "Frecuente"], p=[0.30, 0.45, 0.25]))
    elif f == 2:
        ejercicio.append(np.random.choice(["Nunca", "Ocasional", "Frecuente"], p=[0.55, 0.35, 0.10]))
    else:
        ejercicio.append(np.random.choice(["Nunca", "Ocasional", "Frecuente"], p=[0.70, 0.25, 0.05]))

fumar_labels = {0: "No fuma", 1: "Ocasional", 2: "Regular", 3: "Exceso"}
df = pd.DataFrame({
    "Fumar": [fumar_labels[f] for f in fumar_base],
    "Ejercicio": ejercicio
})

tabla = pd.crosstab(df["Fumar"], df["Ejercicio"])
tabla

Ejercicio	Frecuente	Nunca	Ocasional
Fumar
Exceso	4	38	6
No fuma	65	18	31
Ocasional	26	22	35
Regular	5	34	16

Ya en la tabla se percibe un patrón: los no fumadores tienden a aparecer más en la columna “Frecuente”, mientras que los fumadores en exceso se concentran en “Nunca”. Pero ¿es esta diferencia suficientemente grande como para no atribuirla al azar?

from scipy.stats import chi2_contingency

chi2_val, p_val, dof, expected = chi2_contingency(tabla)

print(f"χ² = {chi2_val:.4f}")
print(f"p-value = {p_val:.6f}")
print(f"Grados de libertad = {dof}")
print(f"\nFrecuencias esperadas (mínima = {expected.min():.2f})")
print(f"¿Todas ≥ 5? {'✓ Sí' if expected.min() >= 5 else '✗ No — verificar supuesto'}")

χ² = 95.5706
p-value = 0.000000
Grados de libertad = 6

Frecuencias esperadas (mínima = 14.08)
¿Todas ≥ 5? ✓ Sí

El estadístico χ² resulta muy alto y el p-value es prácticamente cero: la probabilidad de observar estas diferencias en un mundo donde fumar y ejercicio fueran independientes es negligible. Además, todas las frecuencias esperadas superan 5, por lo que los supuestos de la prueba se cumplen.

Pero, ¿qué tan grande es la relación?

Fuerza de asociación: V de Cramér

n_total = tabla.values.sum()
min_dim = min(tabla.shape[0] - 1, tabla.shape[1] - 1)
cramer_v = np.sqrt(chi2_val / (n_total * min_dim))

print(f"V de Cramér = {cramer_v:.4f}")
if cramer_v < 0.10:
    interp = "Asociación negligible"
elif cramer_v < 0.20:
    interp = "Asociación débil"
elif cramer_v < 0.40:
    interp = "Asociación moderada"
else:
    interp = "Asociación fuerte"
print(f"Interpretación: {interp}")

V de Cramér = 0.3991
Interpretación: Asociación moderada

La V de Cramér confirma que no se trata solo de un efecto estadístico: la asociación es moderada-fuerte, lo que significa que el hábito de fumar explica una porción relevante de la variación en el nivel de ejercicio.

Visualización: Observadas vs Esperadas

Para entender de dónde viene el χ², comparamos lo que vimos en los datos con lo que habríamos esperado si no hubiera ninguna relación. Si las dos tablas fueran idénticas, el χ² sería cero.

import plotly.express as px
import plotly.graph_objects as go
from plotly.subplots import make_subplots

obs = tabla.values
exp = expected

fig = make_subplots(
    rows=1, cols=2,
    subplot_titles=("Frecuencias Observadas", "Frecuencias Esperadas")
)

fig.add_trace(go.Heatmap(
    z=obs, x=tabla.columns.tolist(), y=tabla.index.tolist(),
    colorscale="Blues", text=obs, texttemplate="%{text}",
    showscale=False, name="Observadas"
), row=1, col=1)

fig.add_trace(go.Heatmap(
    z=np.round(exp, 1), x=tabla.columns.tolist(), y=tabla.index.tolist(),
    colorscale="Oranges", text=np.round(exp, 1), texttemplate="%{text}",
    showscale=False, name="Esperadas"
), row=1, col=2)

fig.update_layout(
    title="Comparación: Observadas vs Esperadas bajo H₀",
    template="plotly_white", height=420
)
fig.show()

Las diferencias entre ambas tablas son visibles a simple vista: los fumadores en exceso ejercen mucho menos de lo que se esperaría si fumar y ejercicio fueran independientes, y los no fumadores ejercen mucho más. Esas discrepancias son las que inflan el χ².

Residuos estandarizados: ¿qué celdas explican el χ²?

El χ² global nos dice que algo pasa, pero no dónde. Los residuos estandarizados responden esa pregunta: miden cuánto se desvía cada celda de lo esperado, en unidades comparables. Un valor por encima de 2 en términos absolutos indica que esa celda contribuye de forma significativa al estadístico.

\[r_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}(1 - p_{i\cdot})(1 - p_{\cdot j})}}\]

row_sums = obs.sum(axis=1, keepdims=True)
col_sums = obs.sum(axis=0, keepdims=True)
n = obs.sum()

pi = row_sums / n
pj = col_sums / n
std_res = (obs - exp) / np.sqrt(exp * (1 - pi) * (1 - pj))

fig = px.imshow(
    np.round(std_res, 2),
    x=tabla.columns.tolist(),
    y=tabla.index.tolist(),
    color_continuous_scale="RdBu_r",
    color_continuous_midpoint=0,
    text_auto=True,
    title="Residuos estandarizados (|r| > 2 → desviación significativa)"
)
fig.update_layout(template="plotly_white", height=420)
fig.show()

El mapa de calor lo hace inmediato: el rojo intenso en Exceso × Nunca indica que hay muchos más fumadores sedentarios de lo esperado, mientras que el azul en No fuma × Frecuente señala que los no fumadores se ejercitan con una frecuencia mucho mayor a la que predice la independencia. Esas dos celdas son las principales responsables del χ² elevado.

En conjunto, la prueba confirma que el hábito de fumar y el nivel de ejercicio no son independientes: a mayor consumo de tabaco, menor frecuencia de actividad física, y esta relación es lo suficientemente fuerte como para ser prácticamente relevante, no solo estadísticamente significativa.

17.4 χ² y reducción de datos

Hasta ahora usamos χ² para detectar dependencia entre variables categóricas y evaluar su significancia. Pero hay una consecuencia práctica que vale la pena explorar: si dos variables están fuertemente asociadas, ¿tiene sentido incluir ambas en un modelo?

17.4.1 Redundancia en variables categóricas

Imagina que tienes dos variables en tu base de datos: nivel de actividad física y frecuencia de visitas al gimnasio. Intuitivamente, quien va mucho al gimnasio probablemente también reporta alta actividad física — y viceversa. Incluir ambas en un modelo es como preguntarle dos veces lo mismo a los datos.

Formalmente, dos variables son redundantes cuando no son independientes:

\[ P(X,Y) \neq P(X)P(Y) \quad \text{(dependencia fuerte)} \]

Esto significa que conocer \(X\) ya te da información sobre \(Y\). Cuanto más fuerte es la asociación, más se solapan los contenidos de ambas variables y menos aporta tener las dos.

En la práctica, mantener variables redundantes tiene costos concretos:

• Ruido — si una variable ya está capturada por otra, la versión adicional solo introduce variabilidad innecesaria en las estimaciones.
• Sobreajuste — el modelo aprende patrones espurios que no generalizan a datos nuevos.
• Interpretabilidad — es más difícil entender qué está explicando cada variable cuando varias dicen esencialmente lo mismo.

La lógica es la misma que en correlación entre variables numéricas, pero aplicada al mundo categórico: así como no incluirías altura y talla de zapato como predictores independientes, tampoco deberías incluir dos variables categóricas que midan casi lo mismo.

χ² + V de Cramér permiten detectar esta redundancia: un p-value significativo señala que la dependencia existe; una V alta indica que es lo suficientemente fuerte como para considerar eliminar una de las dos variables.

17.5 Ejemplo: Encuesta de satisfacción — Aerolínea

Una aerolínea quiere predecir qué tan satisfechos quedan sus pasajeros. Tiene 7 variables disponibles, pero no todas son igualmente útiles — algunas explican la satisfacción, otras son irrelevantes, y algunas repiten información que ya captura otra variable. El objetivo es quedarse solo con las que realmente aportan.

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.stats import chi2_contingency
import plotly.graph_objects as go
import plotly.express as px
from plotly.subplots import make_subplots

np.random.seed(42)
n = 1000

clase = np.random.choice(["Económica","Business","Primera"],
                          size=n, p=[0.65, 0.25, 0.10])

tipo_map = {
    "Económica": [0.30, 0.70],
    "Business":  [0.85, 0.15],
    "Primera":   [0.70, 0.30]
}
tipo = np.array([np.random.choice(["Negocio","Vacaciones"],
                 p=tipo_map[c]) for c in clase])

freq_map = {
    "Económica": [0.15, 0.45, 0.40],
    "Business":  [0.65, 0.30, 0.05],
    "Primera":   [0.75, 0.20, 0.05]
}
frecuencia = np.array([np.random.choice(["Frecuente","Ocasional","Primera vez"],
                       p=freq_map[c]) for c in clase])

retraso_map = {
    "Negocio":    [0.50, 0.30, 0.20],
    "Vacaciones": [0.45, 0.35, 0.20]
}
retraso = np.array([np.random.choice(["Sin retraso","Leve","Grave"],
                    p=retraso_map[t]) for t in tipo])

satisf = []
for c, r in zip(clase, retraso):
    if c == "Primera" and r == "Sin retraso":
        satisf.append(np.random.choice(["Baja","Media","Alta"], p=[0.05,0.15,0.80]))
    elif c == "Business" and r != "Grave":
        satisf.append(np.random.choice(["Baja","Media","Alta"], p=[0.10,0.35,0.55]))
    elif c == "Económica" and r == "Grave":
        satisf.append(np.random.choice(["Baja","Media","Alta"], p=[0.60,0.30,0.10]))
    elif c == "Económica" and r == "Sin retraso":
        satisf.append(np.random.choice(["Baja","Media","Alta"], p=[0.20,0.45,0.35]))
    else:
        satisf.append(np.random.choice(["Baja","Media","Alta"], p=[0.30,0.40,0.30]))
satisf = np.array(satisf)

asiento = np.random.choice(["Ventana","Pasillo","Centro"],
                            size=n, p=[0.45, 0.40, 0.15])

def p_norm():
    p = np.array([0.50, 0.50]) + np.random.uniform(-0.03, 0.03, 2)
    return p / p.sum()

momento = np.array([np.random.choice(["Anticipado","Último momento"],
                    p=p_norm()) for _ in range(n)])

df = pd.DataFrame({
    "Clase": clase, "Tipo_viaje": tipo, "Frecuencia": frecuencia,
    "Retraso": retraso, "Satisfacción": satisf,
    "Asiento": asiento, "Momento_compra": momento
})

Paso 1: Explorar los datos

Antes de correr cualquier prueba, miramos la tabla. Ya a simple vista aparecen patrones: los pasajeros de Primera clase con vuelos puntuales tienden a reportar satisfacción alta, mientras que los de Económica con retrasos graves se concentran en satisfacción baja. Pero la intuición no es suficiente — necesitamos cuantificar.

Clase	Tipo_viaje	Frecuencia	Retraso	Satisfacción	Asiento	Momento_compra
Económica	Negocio	Ocasional	Leve	Media	Ventana	Último momento
Primera	Negocio	Frecuente	Leve	Alta	Pasillo	Último momento
Business	Vacaciones	Ocasional	Sin retraso	Alta	Centro	Último momento
Económica	Vacaciones	Ocasional	Leve	Baja	Ventana	Último momento
Económica	Vacaciones	Ocasional	Leve	Baja	Centro	Anticipado
Económica	Vacaciones	Primera vez	Grave	Baja	Ventana	Último momento
Económica	Vacaciones	Ocasional	Grave	Baja	Pasillo	Anticipado
Business	Negocio	Ocasional	Sin retraso	Media	Pasillo	Anticipado

Paso 2: ¿Qué tan asociada está cada variable con Satisfacción?

Calculamos χ² y V de Cramér entre cada variable predictora y la satisfacción. Esto nos da un ranking objetivo de utilidad.

predictoras = ["Clase","Tipo_viaje","Frecuencia","Retraso","Asiento","Momento_compra"]
resultados = []

for var in predictoras:
    tabla = pd.crosstab(df[var], df["Satisfacción"])
    chi2_v, p_v, dof_v, exp_v = chi2_contingency(tabla)
    n_tot = tabla.values.sum()
    min_dim = min(tabla.shape[0]-1, tabla.shape[1]-1)
    cramer = np.sqrt(chi2_v / (n_tot * min_dim))

    if cramer > 0.3:
        fuerza = "Fuerte"
    elif cramer > 0.1:
        fuerza = "Moderada"
    else:
        fuerza = "Débil"

    resultados.append({
        "Variable": var, "χ²": round(chi2_v,2),
        "p-value": round(p_v, 4), "V de Cramér": round(cramer, 3),
        "Fuerza": fuerza
    })

res_df = pd.DataFrame(resultados).sort_values("V de Cramér", ascending=False)

Variable	χ²	p-value	V de Cramér	Fuerza
Retraso	108.79	0.0000	0.233	Moderada
Clase	74.03	0.0000	0.192	Moderada
Tipo_viaje	9.79	0.0075	0.099	Débil
Frecuencia	16.60	0.0023	0.091	Débil
Asiento	2.05	0.7265	0.032	Débil
Momento_compra	0.60	0.7401	0.025	Débil

La tabla cuenta una historia clara: Retraso y Clase son las variables más informativas. Tipo_viaje y Frecuencia tienen una asociación estadísticamente significativa pero débil en magnitud. Y Asiento y Momento_compra tienen p-values altos y V cercana a cero — son prácticamente independientes de la satisfacción, ruido puro.

Paso 3: Visualizar fuerza de asociación con Satisfacción

colores = {"Fuerte": "#e63946", "Moderada": "#e9c46a", "Débil": "#2a9d8f"}

fig = go.Figure()
fig.add_trace(go.Bar(
    x=res_df["Variable"],
    y=res_df["V de Cramér"],
    marker_color=[colores[f] for f in res_df["Fuerza"]],
    text=res_df["V de Cramér"].astype(str),
    textposition="outside"
))

fig.add_hline(y=0.1, line_dash="dot", line_color="#e9c46a",
              annotation_text="Umbral débil/moderada (0.1)",
              annotation_position="top left",
              annotation_font_color="#b5850a")
fig.add_hline(y=0.3, line_dash="dot", line_color="#e63946",
              annotation_text="Umbral moderada/fuerte (0.3)",
              annotation_position="top left",
              annotation_font_color="#e63946")

fig.update_layout(
    title="V de Cramér de cada variable vs Satisfacción",
    yaxis_title="V de Cramér", yaxis_range=[0, 1.0],
    template="plotly_white", height=430, showlegend=False
)
fig.show()

La gráfica hace evidente la separación: hay un grupo de variables que claramente están por encima del umbral y otro que apenas despega del cero. Las dos últimas barras (Asiento y Momento_compra) son candidatas directas a eliminación.

Paso 4: ¿Hay redundancia entre las predictoras útiles?

Eliminar ruido es fácil. Lo más delicado es detectar si entre las variables útiles alguna repite información de otra. Para eso calculamos la V de Cramér entre todas las predictoras entre sí — no contra la satisfacción, sino entre ellas.

vars_utiles = ["Clase","Tipo_viaje","Frecuencia","Retraso"]
m = len(vars_utiles)
matriz = pd.DataFrame(np.zeros((m, m)), index=vars_utiles, columns=vars_utiles)

for i, v1 in enumerate(vars_utiles):
    for j, v2 in enumerate(vars_utiles):
        if i == j:
            matriz.loc[v1,v2] = 1.0
        elif i < j:
            t = pd.crosstab(df[v1], df[v2])
            chi2_v, _, _, _ = chi2_contingency(t)
            n_tot = t.values.sum()
            min_d = min(t.shape[0]-1, t.shape[1]-1)
            v = round(np.sqrt(chi2_v / (n_tot * min_d)), 3)
            matriz.loc[v1,v2] = v
            matriz.loc[v2,v1] = v

fig = px.imshow(
    matriz.values,
    x=vars_utiles, y=vars_utiles,
    color_continuous_scale="RdYlGn_r",
    zmin=0, zmax=1,
    text_auto=True,
    title="V de Cramér entre predictoras — ¿hay redundancia interna?"
)
fig.update_layout(
    template="plotly_white", height=400,
    coloraxis_colorbar_title="V de Cramér"
)
fig.show()

La diagonal siempre es 1 (cada variable es perfectamente dependiente de sí misma). Lo que nos interesa son los valores fuera de ella. Aquí Clase y Frecuencia muestran una asociación moderada — tiene sentido, porque los pasajeros de Business y Primera tienden a volar con más regularidad. Sin embargo, ningún par alcanza valores tan altos como para justificar eliminar una variable por redundancia con otra. Podemos conservarlas todas con cierta tranquilidad.

Paso 5: ¿Cómo luce la satisfacción en las variables clave?

Antes de tomar decisiones finales, vale la pena ver el patrón real en los datos. Si Clase y Retraso realmente explican la satisfacción, deberíamos ver distribuciones muy distintas entre sus categorías.

fig = make_subplots(
    rows=1, cols=2,
    subplot_titles=("Satisfacción por Clase", "Satisfacción por Retraso")
)

orden_sat = ["Baja","Media","Alta"]
colores_sat = {"Baja": "#e63946", "Media": "#e9c46a", "Alta": "#2a9d8f"}

for sat in orden_sat:
    sub = df[df["Satisfacción"]==sat]
    counts_clase = sub["Clase"].value_counts().reindex(["Económica","Business","Primera"], fill_value=0)
    totales_clase = df["Clase"].value_counts().reindex(["Económica","Business","Primera"])
    pct_clase = (counts_clase / totales_clase * 100).round(1)

    fig.add_trace(go.Bar(
        name=sat, x=["Económica","Business","Primera"],
        y=pct_clase.values,
        marker_color=colores_sat[sat],
        text=pct_clase.astype(str)+"%",
        textposition="inside",
        showlegend=(True if sat=="Baja" else False)
    ), row=1, col=1)

    counts_ret = sub["Retraso"].value_counts().reindex(["Sin retraso","Leve","Grave"], fill_value=0)
    totales_ret = df["Retraso"].value_counts().reindex(["Sin retraso","Leve","Grave"])
    pct_ret = (counts_ret / totales_ret * 100).round(1)

    fig.add_trace(go.Bar(
        name=sat, x=["Sin retraso","Leve","Grave"],
        y=pct_ret.values,
        marker_color=colores_sat[sat],
        text=pct_ret.astype(str)+"%",
        textposition="inside",
        showlegend=True
    ), row=1, col=2)

fig.update_layout(
    barmode="stack",
    template="plotly_white", height=430,
    legend_title="Satisfacción"
)
fig.show()

El patrón es contundente. En la gráfica de Clase, la barra de Primera está dominada por verde (satisfacción alta), mientras que Económica tiene una porción roja mucho mayor. En la gráfica de Retraso, el efecto es igualmente claro: un vuelo con retraso grave casi duplica la proporción de pasajeros insatisfechos respecto a uno puntual. Estas son exactamente las variables que el χ² identificó como más informativas.

Paso 6: ¿Cuánto importa la selección en el modelo?

La prueba final es práctica: ¿eliminar las variables de bajo V de Cramér realmente mejora o al menos mantiene el desempeño predictivo? Entrenamos un Random Forest con tres configuraciones distintas.

from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.model_selection import cross_val_score
from sklearn.preprocessing import LabelEncoder

df_enc = df.copy()
for col in df_enc.columns:
    df_enc[col] = LabelEncoder().fit_transform(df_enc[col])

y = df_enc["Satisfacción"]

configs = {
    "Todas (6 vars)":        ["Clase","Tipo_viaje","Frecuencia","Retraso","Asiento","Momento_compra"],
    "Sin ruido (4 vars)":    ["Clase","Tipo_viaje","Frecuencia","Retraso"],
    "Solo fuertes (2 vars)": ["Clase","Retraso"],
}

scores, stds, nombres = [], [], []
for nombre, cols in configs.items():
    cv = cross_val_score(
        RandomForestClassifier(n_estimators=200, random_state=42),
        df_enc[cols], y, cv=5, scoring="accuracy"
    )
    scores.append(cv.mean())
    stds.append(cv.std())
    nombres.append(nombre)

fig = go.Figure()
fig.add_trace(go.Bar(
    x=nombres, y=[round(s,4) for s in scores],
    error_y=dict(type="data", array=[round(s,4) for s in stds], visible=True),
    marker_color=["#457b9d","#2a9d8f","#e9c46a"],
    text=[f"{s:.1%}" for s in scores],
    textposition="outside", width=0.4
))

fig.update_layout(
    title="Accuracy (CV=5) según conjunto de variables seleccionadas por χ²",
    yaxis_title="Accuracy promedio ± std",
    yaxis_range=[0, 1.1],
    template="plotly_white", height=420
)
fig.show()

El resultado confirma la intuición: el modelo con todas las variables no supera al que usa solo las 4 relevantes — y en algunos casos lo hace peor, porque Asiento y Momento_compra introducen ruido que el modelo intenta aprender sin éxito. El modelo con solo las 2 variables más fuertes (Clase y Retraso) pierde algo de precisión, pero es notablemente más simple e interpretable.

Decisión final

χ² y V de Cramér nos permitieron pasar de 6 variables a 2 con criterio estadístico, sin necesidad de entrenar ningún modelo primero. Las variables Asiento y Momento_compra se eliminan por ser independientes de la satisfacción; las 4 restantes se conservan porque aportan información real, aunque Clase y Retraso concentran la mayor parte del poder predictivo.

17.6 Conclusión

NoteLo que la prueba χ² nos da

• Decisión formal: rechazar o no la independencia con control del error tipo I
• Diagnóstico celda a celda: residuos estandarizados revelan dónde está la relación
• Magnitud: V de Cramér cuantifica qué tan fuerte es la asociación

• Herramienta indispensable en EDA categórico, estudios clínicos, ciencias sociales y ML
• Siempre verificar supuestos antes de interpretar
• Combinar con visualizaciones para comunicar los hallazgos